Todo, algum e nenhum: como negar quantificadores e resolver diagramas lógicos sem desenhar tudo

As questões com todo, algum e nenhum parecem simples — e é por isso que derrubam. O raciocínio cotidiano trata "negar que todos são" como "nenhum é", e a lógica formal diz outra coisa. A banca explora exatamente essa distância.

Dominado o mecanismo, o assunto rende questões rápidas: são três palavras, quatro negações e um método de diagrama.

As quatro proposições categóricas

Toda afirmação com quantificador cabe em uma de quatro formas:

Forma	Exemplo	Símbolo clássico
Todo A é B	Todo servidor é concursado	universal afirmativa
Nenhum A é B	Nenhum servidor é estrangeiro	universal negativa
Algum A é B	Algum servidor é professor	particular afirmativa
Algum A não é B	Algum servidor não é estável	particular negativa

A palavra "algum" em lógica significa pelo menos um — e não exclui a possibilidade de serem todos. "Algum servidor é professor" continua verdadeira se todos os servidores forem professores. Esse é o primeiro ajuste em relação à linguagem comum.

A negação: o que a prova mais cobra

A regra é única e vale para os quatro casos: negar um quantificador troca "todo" por "algum" (e vice-versa) e inverte a afirmação.

Proposição	Negação correta	Negação errada (armadilha)
Todo A é B	Algum A não é B	Nenhum A é B
Nenhum A é B	Algum A é B	Todo A é B
Algum A é B	Nenhum A é B	Algum A não é B
Algum A não é B	Todo A é B	Nenhum A é B

O raciocínio por trás: para derrubar "todo servidor é concursado", basta um servidor que não seja. Não é preciso que nenhum seja. Daí a negação de "todo" ser "algum não".

A versão da armadilha muda de roupa, mas é sempre a mesma: a alternativa oferece o contrário (nenhum) no lugar da negação (algum não). Contrário e negação são coisas diferentes — "todo" e "nenhum" podem ser ambos falsos ao mesmo tempo (quando alguns são e outros não), enquanto uma proposição e sua negação nunca têm o mesmo valor.

Equivalências que aparecem

Três reescritas que a banca usa para disfarçar a mesma proposição:

Nenhum A é B ≡ Todo A é não-B ≡ Nenhum B é A. A universal negativa é simétrica: se nenhum servidor é estrangeiro, nenhum estrangeiro é servidor.
Algum A é B ≡ Algum B é A. A particular afirmativa também é simétrica.
Todo A é B ≡ Se é A, então é B. Esta ponte para a condicional é a mais útil: "todo servidor é concursado" equivale a "se é servidor, então é concursado" — e a partir daí valem as regras da condicional, inclusive a contrapositiva: "se não é concursado, então não é servidor".

Atenção ao que não é equivalente: "todo A é B" não equivale a "todo B é A". Todo servidor é concursado não significa que todo concursado é servidor.

Os diagramas: quando desenhar e como

Para questões com duas ou três categorias e uma conclusão a validar, o diagrama resolve. A regra de ouro: desenhe o caso que tenta derrubar a conclusão. Se não conseguir, a conclusão é válida.

Representação:

Todo A é B: círculo A dentro de B.
Nenhum A é B: círculos separados.
Algum A é B: círculos com interseção, e um ponto marcado na área comum.
Algum A não é B: círculos com interseção, ponto marcado na parte de A fora de B.

O detalhe que muda tudo: "algum" garante um ponto, não uma região inteira. Ao desenhar "algum A é B", só a existência de um elemento na interseção está garantida — o restante de A pode ou não estar em B.

Exemplo resolvido

Todo economista é analista. Algum analista é servidor. Logo, algum economista é servidor.

Tente derrubar: desenhe economistas totalmente dentro de analistas, e coloque o ponto "servidor" na parte de analistas que não toca os economistas. Consistente com as premissas, e a conclusão fica falsa. Argumento inválido.

Todo economista é analista. Nenhum analista é servidor. Logo, nenhum economista é servidor.

Tente derrubar: economistas dentro de analistas, analistas separados de servidores. Não há como um economista tocar servidores. Argumento válido.

A diferença entre os dois: no primeiro, a premissa "algum" não garante que o ponto caia onde a conclusão precisa; no segundo, a premissa "nenhum" fecha a possibilidade.

O padrão que a banca repete

Dois silogismos aparecem com muita frequência, um válido e um inválido:

Válido — cadeia de "todo":

Todo A é B. Todo B é C. Logo, todo A é C.

Inválido — "algum" no meio:

Todo A é B. Algum B é C. Logo, algum A é C.

O segundo é inválido pelo motivo já visto: o "algum B é C" pode estar inteiramente fora de A. Sempre que a conclusão depende de um "algum" que não foi ancorado na categoria certa, desconfie.

Verdadeiro, falso e "não se pode concluir"

Algumas bancas pedem para classificar uma afirmação, dadas as premissas, em necessariamente verdadeira, necessariamente falsa ou indeterminada. O método é o mesmo: tente construir dois diagramas compatíveis com as premissas, um em que a afirmação é verdadeira e outro em que é falsa. Se conseguir os dois, é indeterminada. Se só um deles for possível, é aquele.

Um roteiro de trinta segundos

A questão pede a negação? Troque todo↔algum e inverta o verbo. "Nenhum" nunca é negação de "todo".
Pede uma equivalente? "Todo A é B" vira "se A, então B"; "nenhum A é B" pode ser lida ao contrário; "todo A é B" não pode.
Pede para validar uma conclusão? Desenhe tentando derrubá-la. Lembre que "algum" é um ponto, não uma região.
A conclusão tem "algum" e as premissas têm um "algum" sem ancoragem? Provavelmente inválido.

Vale observar o estilo da sua banca: a Cebraspe apresenta as premissas em texto corrido e afirma a conclusão em item de certo/errado; a FGV e a Fundação Carlos Chagas costumam cobrar diretamente a negação, oferecendo o "nenhum" como alternativa tentadora.